1. Process Capability Analysis
1.0. Intro
품질이란 모든 분야의 중요 요소입니다. 서비스품질, 소프트웨어품질, 제품품질,공정품질 등 품질경영이 신뢰를 중요히 여기는 기업에겐 제일가치를 말하기도 합니다. 대한민국의 삼성이란 기업이 1993년 독일 프랑크푸르트에서 초격차 품질경영에 대해서 얘기했습니다. 그리고 2020년 10월 25일 삼성 이건희 회장의 사망 소식을 들었습니다. 저는 7년간 삼성의 글로벌 연구센터 개발자로서 해외에 있는 여러 현장을 둘러보며 품질경영을 피부로 느끼다보니 기분이 묘합니다. 결론적으로 이번 포스팅은 이건희 회장의 별세로 다시금 품질에 대해 생각하게 됐으며 품질경영에 대한 10부작으로 진행됩니다.
별도로, 이런 수치분석은 Minitab이라는 편한 툴이 있습니다 보편적인 경우에는 Minitab이 훨씬 강력합니만, MATLAB을 써야 내가 의도된 대로 나온 것인지 확인할 수도 있으며 중간과정을 이해할 수 있습니다. 툴을 잘 사용하는 것도 좋은 재능입니다만 원리를 깨우쳐야 다른 분야에 적용할 수 있으니 MATLAB을 권장합니다.
1.1. About
공정능력분석은 공정능력평가를 얘기합니다. 궁극적으로 공정이 목표를 충족시킬 수 있는가?를 보죠. 분석이 들어간 뒤에는 조정가능한지 여부를 살펴보고 단기, 장기를 기준으로 공정능력 보고서가 산출물로 나옵니다. 여기서 Process와 Target은 꼭 제조에 해당되는 얘기가 아니기도 합니다. 실무에 해당하는 예를 들자면, 직원들의 근무시간을 수집합니다. Target은 40 hour / a week이고 32~48 hour / a week까지는 이해해주지만, 그 이하와 그 이상은 업무적인 측면과 직원의 컨디션 때문에 제제를 해야됩니다. 평균 직원들의 근무시간은 얼마이며 다들 대체로 비슷할까요? 누군가 극심한 업무부하가 있진 않을까요? 이러한 호기심이 시작되면 회사의 Human resource에 관심을 가지게 됩니다.
1.2. Process Capability Index
Process Capability Index(공정능력지수)는 공정이 얼마나 균일한 품질의 제품을 만들 수 있는 지에 대해 얘기합니다. 공정에 대한 내용을 평가하기 위해 지수로 만든 것이죠. 이런 행위를 정량화라고 합니다. 공정능력지수는 품질의 특성치가 정규분포 속에 있다는 전제하에 제품의 공차와 6-sigma(후술)사이에서 상대적인 크기를 비교할 수 있습니다.
1.1.1. Norm
Normal Distribution(정규분포)에 대해서 얘기할 차례입니다. 모든 직원들이 근무하는 시간이 비슷한지, 한 직원의 한 달간 근무시간이 균일한지 얘기할 때 정규분포를 얘기합니다. 근데 왜 제품의 특성치가 혹은 예시로 들었던 직원들의 근무시간이 정규분포 속에 있다고 가정할까요? 여기에는 Central limit theorem(중심극한정리)가 적용됩니다. 정심극한정리에 대해 간단히 얘기하자면 어떤 분포를 가지던, 샘플 수가 많아지면 모두 다 정규분포를 따라간다고 이해하시면 됩니다. 보통은 샘플 수를 30개 이상부터 정규 분포에 수렴된다는 얘기를 합니다. 실제로도 비슷하구요.
1.1.2. Probability
정규성검정(Normality Test)에 대한 얘기입니다. 앞 서 모든 샘플은 정규분포 속에 있다는 가정을 할 것입니다. 그런데 사실 정규분포가 아니라면? 앞으로의 결과에 심각한 오류가 생깁니다. 그렇다면 본격적으로 진행하기 전에 정말 정규분포 속에 있는 지 봐야합니다. 조금 진지하게 여러 학술지나 논문에서에서 정규성검정이 빠진 채로 통계분석을 진행하는 경우를 많이 봤습니다. 경각심을 가지고 정규성검정을 먼저 진행해야 합니다.
1.1.3. Histogram
연속적인 데이터를 구간별로 n등분하여 이 구간에 몇 개가 있는 지 보여주는 Histrogram은 정규성검정에 도움이 됩니다. 또한 정규분포가 어떻게 그려지는 지 확인할 수 있죠. 예를 들어서 직원들의 근무시간을 다 구하여 최소, 최대값을 구한 다음 10등분을 하면 histogram with 10 bins라고 합니다. 10개의 구간에 직원들의 근무시간이 다 들어가 있는 것이죠.
1.1.4. Process Capability
이제 정규분포 속에 있다는 품질특성을 본격적으로 따져보고 평가해봅시다. 먼저목표(Target), 샘플수(m) 그리고 상한,하한선(Upper and Lower Specification Limit, USL&LSL)을 정합니다. 그리고 평균(mu)과 표준편차(std)를 구합니다. 마지막으로 Biased(편항된) case를 고려하여 치우침에 대한 상수(k)를 구합니다. 위 요소들을 잘 조합하여 나온 공정능력지수를 Cp(Normal case), Cpk(Biased case)이라 합니다. 공정능력지수에 대한 설명은 아래와 같습니다. 아래 숫자의 기준은 이후에 진행하는 6-sigma를 통해 이해하실 수 있습니다.
| Process Capabililty Index(Cp) | Mean |
|---|---|
| Cp >= 1.67 | 공정능력이 매우 충분함. 현 공정의 비용 및 간소화를 고려해야함 |
| 1.67 > Cp >= 1.33 | 공정능력이 충분함, 현 상태 유지 |
| 1.33 > Cp >= 1.00 | 공정능력이 미흡함, 공정능력 관리 필요 |
| 1.00 > Cp >= 0.67 | 공정능력이 부족함, 불량 발생에 따른 공정 개선 필요 |
| 0.67 > Cp | 공정을 즉시 중단하고 불량에 대한 원인규명 및 품질 개선에 대한 대책 마련 필요 |
1.2. Long/Short Term Process Capability
공정능력평가에 대해서 얘기를하면 지금 이 평가가 평생갈 것인가에 대한 의문이 생깁니다. 아마 대부분 일정기간까지만 효력이 있다고 생각할 것입니다. 그래서 공정능력평가를 두 가지로 나눕니다. Long term process capability(장기공정능력)와 Short term process capability(단기공정능력)입니다.
1.2.1. Long term process capability
장기공정능력은 공정 외에도 여러가지 변수요소가 들어와 공정능력에 영향을 준다를 전제로 하고 있습니다. 그러므로 충분히 긴 기간과 충분히 많은 샘플로서 얘기를 합니다. 표준화 심볼은 Z_lt입니다. 장기공정능력은 기술과, 공정 관리로 정의되며 일상 조건에서의 공정 관리 능력을 얘기합니다.
1.2.2. Short term process capability
단기공정능력은 공정에 외부적인 영향이 없다는 전제입니다. 그러므로 로트간의 상관관계도 필요없으니 짧은 기간에 Sample로서 얘기합니다. 이를 최적 조건에서의 공정 관리 능력이라고 합니다.
2. Implement
아래의 데이터를 가지고 구현을 할 것입니다. 공정능력에 대한 내용이기에 코드의 메커니즘도 따로없고 데이터 분석도 크게 필요없기에 소스 산출물로서만 얘기를 하겠습니다. 또한 한 부품군에 대한 내용이기에 관리도를 통한 공정능력분석이 아닙니다. 다음 포스팅에서 관리도 설명과 함께 공정능력분석을 얘기하겠습니다.
MATLAB 복사하기 쉽게된 전문은 제일 아래에 있습니다. 지금부터는 설명입니다.
Target = 100 양측 30의 범위
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clc, clear
Target = 100;
USL = 130;
LSL = 70;
2.1. probplot
가상선의 기울기가 대각선에 가깝고 중앙으로 밀집되어 있는 지 확인합니다. 데이터 컬럼명은 “Data”로 MATLAB 테이블 객체에서 {}는 Table이 아닌 요소자체를 가져옵니다.
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ProcTable = readtable("D:\data.xlsx"); % 데이터 경로로 잡아주세요
data = ProcTable{:, "Data"};
figure
probplot(data);
2.2. histfit
히스토그램과 정규분포곡선을 보고 편향된 것은 없는지 왜곡된 것은 없는 지 확인합니다.
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figure
nbins = 17;
histfit(data)
%histfit(data, nbins) // bins 조정가능
title('Histogram with Normal Curve')
xlabel('Value')
ylabel('Frequency')
2.3. capability
한도를 벗어나는 범위에 대해서 확인합니다.
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S = capability(data,[LSL USL])
figure
capaplot(data,[LSL USL]);
xlabel('Value')
ylabel('probability')
grid on
2.4. normspec
이는 해당 함수를 이용해서도 확인가능합니다.
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figure
normspec([LSL USL], mu, sigma)
figure
p = normspec([LSL USL],mu,sigma,'outside')
2.5. result
결과를 구해보니 아래와 같이 나왔습니다. Cp가 0.8인 것으로 보아 공정능력이 부족함으로 판단되네요. 개선이 필요해보입니다.
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m = height(ProcTable)
mu = mean(data)
sigma = std(data)
Var = var(data)
Minval = min(data)
Maxval = max(data)
Medval = median(data)
S = capability(data,[LSL USL])
figure
capaplot(data,[LSL USL]);
xlabel('Value')
ylabel('probability')
grid on
2.6. MATLAB code 전문
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clc, clear
Target = 100;
USL = 130;
LSL = 70;
ProcTable = readtable("D:\data.xlsx");
data = ProcTable{:, "Data"};
figure
probplot(data);
figure
nbins = 17;
histfit(data)
title('Histogram with Normal Curve')
xlabel('Value')
ylabel('Frequency')
m = height(ProcTable)
mu = mean(data)
sigma = std(data)
Var = var(data)
Minval = min(data)
Maxval = max(data)
Medval = median(data)
S = capability(data,[LSL USL])
figure
capaplot(data,[LSL USL]);
xlabel('Value')
ylabel('probability')
grid on
figure
normspec([LSL USL], mu, sigma)
figure
p = normspec([LSL USL],mu,sigma,'outside')
%Validation
Cp = (USL - LSL) / (6*sigma)
Cpk = min((USL-mu) / (3*sigma), (mu-LSL) / (3*sigma))
Cpm = (USL - LSL) / (6*(sqrt(sigma^2 + (mu-m)^2)))
k = abs(m - mu) / ((USL-LSL) / 2)